引

發(fā)現(xiàn)人文與數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)枯燥嗎？

我們應(yīng)該換個角度看這個問題。

在某種程度上講，數(shù)學(xué)與詩歌有相似性：簡潔、凝練、抽象…...

數(shù)學(xué)與人文，并非完全割離。

在數(shù)學(xué)身上，我們發(fā)現(xiàn)與詩歌相似的“美”。

以一首人文詩詞為例——大漠孤煙直，長河落日圓。

這首詩描繪了雄闊、壯美的大漠圖景。

從幾何學(xué)角度上看，“大漠”可視為平面，“孤煙”垂直于地面的直線（圖1）。

第二句將橫臥長河視為一條直線，下沉落日被視為一個圓，“長河落日圓”便是一個圓切于一條直線（如圖2）。

兩圖對照，涇渭分明，簡潔明了，剛?cè)嵯酀?/p>

自然的景致都會在歷史波濤中湮沒，

江渚上的白發(fā)漁樵都會成過眼煙云，

只有抽象出來的美感才會永垂不朽！

“大漠孤煙直，長河落日圓”正是幾何學(xué)的高度凝練，人文與數(shù)學(xué)的美在這里相聚，才擁有了震撼千古的藝術(shù)魅力！

很多人因為應(yīng)試原因忽略了數(shù)學(xué)之美，這是一種遺憾。

為了彌補這種遺憾，量子學(xué)派攜手43位數(shù)理領(lǐng)域教授、專家出版《公式之美》，每一個公式都有一幅數(shù)學(xué)畫，讓更多人領(lǐng)略數(shù)理之美。

1

?1+1=2?

發(fā)現(xiàn)者? ？

發(fā)現(xiàn)時間??？

公式圖解

插圖的中心位置，古埃及人從尼羅河捕捉了三條魚，第三條魚的處理卻成了最大難題。

古埃及人如何處理第三條魚已經(jīng)無從考究，但祖先們在有了“數(shù)量”概念后意識到1+1=2，從此打開數(shù)學(xué)的大門。

看似簡單卻是數(shù)學(xué)最原始的種子，讓人類具備了超越其它種族的高維能力。

在歷史波濤翻滾的長河中，這顆數(shù)學(xué)的種子開始生根發(fā)芽……

1+1=2，成為人類文明的基石之一。

2

畢達哥拉斯定理?

Pythagorean theorem

發(fā)現(xiàn)者? 畢達哥拉斯、商高

發(fā)現(xiàn)時間??大約公元前500年

公式圖解

插圖中一只超現(xiàn)實的眼睛正在凝視，在它下方的兩個小正方形注滿水后，它們相加的注水量與它們垂直兩邊所構(gòu)成的直角三角形的大正方形的注水量相等，形象得出勾股定理的推導(dǎo)。

在它之下面是“畢達哥拉斯樹”，他證明對一切直角三角形來說，a2+b2=c2。插畫右上角的位置是商周時期的甲骨文，商周時貴公子商高也曾提出“勾三股四弦五”。

a2+b2=c2，是人類歷史上第一次將“數(shù)”與“形”相結(jié)合。

3

費馬大定理?

Fermat's last theorem

發(fā)現(xiàn)者? 費馬

發(fā)現(xiàn)時間? 1637年

公式圖解

插畫中央是時間指針，轉(zhuǎn)動著跨越358年的時間圓盤。

圓盤左側(cè)是“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費馬，他提出的“費馬大定理”開啟了這個跨越358年的時間圓盤，留下了“對此我已經(jīng)找到了一個絕妙的證明方法，我寫不下，就不寫了”的世紀(jì)名言。

許多數(shù)學(xué)家在解密過程中沒能解開“費馬大定理”，卻創(chuàng)立了許多新的數(shù)學(xué)理論，故“費馬大定理”也被稱為“會下金蛋的鵝”。

圓盤右側(cè)坐在破碎金蛋上的是懷爾斯，358年智力接力賽由他終結(jié)，但“金蛋傳奇”仍在繼續(xù)，橢圓曲線便是其一，它在非對稱加密領(lǐng)域大放異彩，被密碼學(xué)朋克們應(yīng)用于比特幣，使比特幣成為數(shù)學(xué)上牢不可破的“數(shù)學(xué)黃金”。

4

微積分?

Calculus

發(fā)現(xiàn)者? 牛頓、萊布尼茨

發(fā)現(xiàn)時間? 1684年

公式圖解

插圖中，一只短腿烏龜奮力爬行，海神之子“阿喀琉斯”正打算追上它。

根據(jù)“芝諾悖論”，阿喀琉斯永遠都無法追上小烏龜。

插圖左側(cè)拋出蘋果的是牛頓，與之相對的則是拋出“二進制”的萊布尼茨。在蘋果與“二進制”之間，則是著名的微積分公式。

牛頓與萊布尼茨都被數(shù)學(xué)界視為是微積分的發(fā)現(xiàn)者，兩人曾因誰先發(fā)現(xiàn)微積分有過一場浩大持久的爭奪戰(zhàn)，但在溘然長逝之后，兩人又因牛頓-萊布尼茨公式牢牢綁在一起。

微積分的出現(xiàn)，促成了后來一場場科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的革命。

5

萬有引力?

Law of universal gravitation

發(fā)現(xiàn)者? 牛頓

發(fā)現(xiàn)時間??1687年

公式圖解

地球與一顆蘋果牢牢地捆綁在一起，而將兩者進行連接的正是牛頓。

牛頓推出萬有引力定律，而引力一舉成為四種作用力的基本力之一。

牛頓的萬有引力定律一錘定音，他告訴人類，支配自然和宇宙的萬物法則其實很簡單。

在19世紀(jì)末，萬有引力定律暴露出了它的局限性，有著無法觸及的灰暗地帶。

但萬有引力如同畫面中從蘋果樹到天空逐漸延伸的裂口，它劈開了愚昧混沌的黑暗，將光明帶給人類。牛頓如同盜來火種的普羅米修斯，他賦予人類星火，將由人類燎原。

6

歐拉公式?

Euler's formula

發(fā)現(xiàn)者? 歐拉

發(fā)現(xiàn)時間? 1748年

公式圖解

歐拉穿過哥尼斯堡七橋，這七座別致的橋橫跨普雷格爾河將四個區(qū)域連接起來，在所有人都嘗試著不重復(fù)走遍七橋回到出發(fā)點失敗時，右眼剛失明的歐拉將其巧化成幾何問題，證明路線根本不存在，由此開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的新分支——圖論與幾何拓?fù)洹?/p>

歐拉公式便是其中一個表現(xiàn)，e^πi+1=0非常完美。

有著“上帝公式”之稱的歐拉公式提出后有著深遠的影響，不僅如此，歐拉一生孜孜不倦，他所留下的科學(xué)遺產(chǎn)仿若閃爍群星，即使歐拉長眠，但群星永不熄滅。

7

伽羅瓦理論?

Galois theory

發(fā)現(xiàn)者? 伽羅瓦

發(fā)現(xiàn)時間??1832年

公式圖解

右側(cè)男子開槍射擊，子彈穿過五次方程，左側(cè)男子應(yīng)聲倒下。

上方則是一名陷入掙扎的女子，顯然兩者正為之爭奪。

倒下的男子是僅有21歲的伽羅瓦，死于與一段熱戀相關(guān)的決斗中。在這場自知必死的決斗前夜，伽羅瓦奮筆疾書為世人留下了三十二頁紙的論文。在1843年時，他留下的成果被肯定并公布于眾，至此五次方程的神秘面紗也被揭開。

伽羅瓦理論所引入的“群”“域”等概念，成功的推開了現(xiàn)代群論這座輝煌宮殿的大門，拉開了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的帷幕。

8

黎曼猜想?

Riemann hypothesis

發(fā)現(xiàn)者? 黎曼

發(fā)現(xiàn)時間? 1859年

公式圖解

黎曼踏上通往繁復(fù)奇妙的數(shù)學(xué)大廈階梯，他來自更高維的世界，手拿一把鑰匙，走向神秘之門。

這座數(shù)學(xué)大廈是由以黎曼提出的黎曼猜想為基礎(chǔ)的一千多余數(shù)學(xué)命題所建立，黎曼手握著的精美鑰匙，可以輕易打開這扇神秘大門。

但這座建立在黎曼猜想上的大廈并不是牢不可破，如果黎曼猜想被證實，大廈將永恒存在，反之，大廈將在一瞬間坍塌毀滅。

9

熵增定律?

Second law of thermodynamics

發(fā)現(xiàn)者? 克勞修斯

發(fā)現(xiàn)時間? 1854年

公式圖解

插圖里充滿著死亡、頹廢的氣息，揮散不去。

這也是“熵增定律”所想表達：熵增，永不可逆。

圖中膨脹死尸環(huán)抱著的，恰恰是我們所處的宇宙。

燈亮的那一刻，宇宙大爆炸出現(xiàn)。從大爆炸的那一刻起，宇宙就成了一個無人打掃的陳年老屋，日積月累后灰塵滿地，這就是熵增。

熵增定律讓人類絕望。我們以為自己已經(jīng)逐漸成為上帝，但面對熵增，卻依舊像一個光腳的孩子，手足無措，面對宇宙最終走向寂滅，根本無能為力。

宇宙終將走向死亡，這是它的必然宿命。

10

麥克斯韋方程組?

Maxwell's equations

發(fā)現(xiàn)者? 麥克斯韋

發(fā)現(xiàn)時間? 1865年

公式圖解

一個電磁場呈現(xiàn)在人眼前，但更像是一束源源不斷照射進宇宙的光。

關(guān)于電與磁的關(guān)系，前人踏過無數(shù)荊棘，才使得道路稍顯平坦。

庫倫、奧斯特、安培、法拉第…沒能找到一種完美統(tǒng)一的描述。

最終麥克斯韋神奇地完成這一壯舉——用他特有的數(shù)學(xué)語言，總結(jié)前輩們的各大定律，建立了電磁學(xué)微分方程組，將電場與磁場完美地融合在一起，統(tǒng)一了整個電磁場。

自此之后，宇宙間的任何電磁現(xiàn)象，皆可由此方程組解釋。

上帝說要有光，便有了麥克斯韋方程組。

11

質(zhì)能方程?

mass-energy equivalence

發(fā)現(xiàn)者? 愛因斯坦

發(fā)現(xiàn)時間? 1905年

公式圖解

清晰可見兩朵騰空而上的蘑菇云，那是二戰(zhàn)美國投放在日本長崎和廣島的兩顆原子彈。

爆炸之后，盡是廢墟。插圖左下側(cè)是一座被摧毀后的城市，破裂、殘缺，無人幸存。

當(dāng)蘑菇云騰空之后，死神靜靜地注視一切，在她眼中，一切都如此平常、安靜。

在愛因斯坦提出質(zhì)能方程前，人們認(rèn)為質(zhì)與能是兩條互不干擾的平行線。但當(dāng)愛因斯坦寫下質(zhì)能方程后，能量與質(zhì)量才合為一個整體——質(zhì)能。其看似簡潔，卻能夠描寫一個小到原子，大到整個宇宙的世界。一粒塵埃，也蘊含著人類無法想象的巨大能量。

12

薛定諤方程?

Schr?dinger equation

發(fā)現(xiàn)者? 薛定諤

發(fā)現(xiàn)時間? 1926年

公式圖解

右側(cè)是我們所處的宏觀世界，左側(cè)的氫原子模型是微觀世界。

“薛定諤的貓”將兩者相連，此貓正從宏觀世界走向微觀世界。

薛定諤創(chuàng)立了波函數(shù)理論，但此方程卻成了哥本哈根學(xué)派的武器，直指愛因斯坦。

為論證量子力學(xué)的荒謬，薛定諤提出“薛定諤的貓”思想實驗，成為20世紀(jì)物理學(xué)的最大爭議。

這只不屬于薛定諤的貓，行走于生死之間，穿梭于平行世界，它的行蹤軌跡神秘，不可捉摸。

13

狄拉克方程?

Dirac equation

發(fā)現(xiàn)者? 狄拉克

發(fā)現(xiàn)時間?1928年

公式圖解

左側(cè)是一座巴別塔，處在光明之中，即我們所在的物質(zhì)世界。

右側(cè)一片黑暗，猶如一片黑海漣漪，意指深不可測的反物質(zhì)世界。

黑暗世界反物質(zhì)的出現(xiàn)，使得物質(zhì)世界的巴別塔搖搖欲墜。

而中間連接的是一條將兩個世界分離開來的通天之路，這條路也許就能進入到反物質(zhì)世界中，甚至找到進入暗物質(zhì)世界的入口。

狄拉克方程統(tǒng)一了狹義相對論和量子力學(xué)，并得出一個重大結(jié)論：電子可以有正電荷，開辟出“新大陸”——游蕩在宇宙中的“反物質(zhì)”。

反物質(zhì)與物質(zhì)似雙胞胎，卻又水火不容，兩者一旦相遇即湮滅。它們?nèi)缤@幅畫的左右兩邊，一邊光明，一邊黑暗，但誰也不知道，黑暗一邊的反物質(zhì)世界背后，究竟隱藏著什么。

14

楊-米爾斯規(guī)范場論?

Yang-Mills theory

發(fā)現(xiàn)者? 楊振寧、米爾斯

發(fā)現(xiàn)時間? 1954年

公式圖解

在楊-米爾斯方程的構(gòu)圖中，位處中間的“神”，正將“四力”合攏起來。

左側(cè)“萬有引力”，右側(cè)“電荷力”，上方“強核力”，下方“弱核力”。

愛因斯坦曾經(jīng)希望能借助一個公式將宇宙“大一統(tǒng)”，但直到生命最后一刻都沒能實現(xiàn)。這個重?fù)?dān)，落到了規(guī)范場論身上。

楊-米爾斯方程站上前人肩膀，后人推導(dǎo)修正，成為規(guī)范場論的中流砥柱。

隨著希格斯粒子被發(fā)現(xiàn)，規(guī)范場論統(tǒng)一了自然界三種力，朝著大一統(tǒng)理論逼近。

一旦人類實現(xiàn)“四力統(tǒng)一”，可能真正成神——任意地組合與改變粒子，制造出前所未有的物質(zhì)形態(tài)，左右空間維度數(shù)，最終成為宇宙的主宰。

15

香農(nóng)公式?

Shannon theory

發(fā)現(xiàn)者? 香農(nóng)

發(fā)現(xiàn)時間? 1948年

公式圖解

香農(nóng)如同雜技成員，騎著獨輪車，熟練拋接四個球，在“彭羅斯階梯”上雜耍。

他從“烽火狼煙”城堡出發(fā)，逐步邁向“網(wǎng)絡(luò)通信”。

香農(nóng)公式，不僅帶人類從工業(yè)時代進入信息時代，也讓人類在遠距離傳輸信息通信道路上越走越快。

香農(nóng)寫下香農(nóng)公式后，給人們留下了一個極限，此后人們便在其中競相追逐，1G、2G、3G、4G、5G…通信方式的變更，讓人們的生活也瞬息萬變。

這也是為什么在構(gòu)圖中將香農(nóng)置放在“彭羅斯階梯”上表演的原因——在香農(nóng)公式中追逐極限，永遠都不會有盡頭可言。

16

B-S方程?

Black-Scholes equation

發(fā)現(xiàn)者? 布萊克、斯科爾斯

發(fā)現(xiàn)時間? 20世紀(jì)70年代

公式圖解

在B-S方程的構(gòu)圖中，中間是搖搖欲墜的金融大廈。

B-S方程原本是華爾街的中流砥柱，但大廈將傾，卻無人能扶。

B-S方程曾經(jīng)被稱為是最“貴”的方程，價值高達一萬億。但“人性”作祟，這個公式并非完美，2008年的金融危機則成為壓垮大廈的最后一根稻草。

由此，“牛頭”倒在搖搖欲墜的金融大廈之下，牛市已然消失，人們唯一能做的，只有踏上那條曾經(jīng)帶來無數(shù)財富的B-S方程，然后義無反顧地往下跳去。

B-S方程本身沒有問題，而是總有人濫用它。數(shù)學(xué)可以計算經(jīng)濟運行的軌跡，卻沒辦法計算人性的瘋狂。

17

彈道方程?

Trajectory equation

發(fā)現(xiàn)者? 英構(gòu)司

發(fā)現(xiàn)時間??1881年

公式圖解

中心部分如同黑洞般的槍口直指人心，左側(cè)青年持槍射擊，但可能正是因為將槍口抬高3CM，子彈從右側(cè)的少女旁擦肩而過。

曾經(jīng)守衛(wèi)柏林墻的衛(wèi)兵射擊，導(dǎo)致跨越柏林墻的青年死亡。圖中的青年將槍口抬高了3CM，便為右側(cè)少女挽回一條生命。

這是彈道方程的魅力。

你必須執(zhí)行命令開槍，但你應(yīng)該擁有將槍口抬高3CM的良知。

18

胡克定律?

Hooke's law

發(fā)現(xiàn)者??胡克

發(fā)現(xiàn)時間? 1678年

公式圖解

卓別林在《摩登時代》擰著巨大齒輪上的螺帽，每個人都是螺絲釘。

透過齒輪間隙可以看到熟悉的表盤數(shù)字，這是機械表的象征。

插圖后方則是噴著濃煙的廠房和煙囪，象征著第一次工業(yè)革命滾滾襲來。

機械表的發(fā)展歷程是工業(yè)革命的縮影，機械表的精密背后，離不開齒輪和擺輪游絲之間的精妙配合，而游絲里的時間秘密離不開胡克定律。

19

混沌理論?

Chaos theory

發(fā)現(xiàn)者? 洛倫茨

發(fā)現(xiàn)時間? 1963年

公式圖解

一只蝴蝶正跪坐在鯨魚上，從太平洋西岸游向東岸。

這只美麗蝴蝶扇動翅膀，右側(cè)亞馬遜大葉植物形成了一道道颶風(fēng)。

正如中國古人所言：失之毫厘，謬以千里。

混沌，才是世界的本質(zhì)。蝴蝶效應(yīng)只是一種典型的混沌系統(tǒng)。

我們的世界是混沌而無序的，就如同我們難以用準(zhǔn)確的幾何圖形描述云朵、山巒、海岸線的形狀，我們無法找到一種描述不規(guī)則世界的法則。

20

凱利公式?

The Kelly Criterion

發(fā)現(xiàn)者? 凱利

發(fā)現(xiàn)時間? 1956年

公式圖解

插畫的正中央是熟悉的撲克牌，牌中人物被替換成凱利。

撲克牌后是賭盤和骰子，骰子的一面鉆出來一個雙手抓著錢，雙目無神的人，另一面則畫著一個骷髏頭。意思很明顯——賭博，依靠運氣，將陷入深淵。

在撲克上置放著一條財富公式——凱利公式，這個公式價值萬億。賭博，不是運氣游戲，而是數(shù)學(xué)問題。但賭徒永遠學(xué)不到這一點，依舊會一頭扎進賭場之中。

凱利公式告訴我們，只要進了賭場，你就是一個賭鬼。而贏得勝利的唯一法則，只有一個——不賭。

21

貝葉斯定理?

Bayes' theorem

發(fā)現(xiàn)者? 貝葉斯

發(fā)現(xiàn)時間? 18世紀(jì)

公式圖解

未來世界，是由電子芯片和線路搭建成的賽博朋克風(fēng)格城市。

一個人工智能機器人正站在一面鏡子前，一只手按在鏡子上，對著鏡中的自己產(chǎn)生了疑問：“我是誰？”

人工智能的發(fā)展離不開貝葉斯定理的支撐。盡管貝葉斯定理在最初時不被認(rèn)可，但歷經(jīng)兩百余年發(fā)展，幾乎成為AI世界的鐵律。

我們可能要問一下自己一個問題：

如果貝葉斯公式與A.I.真正結(jié)合，它是否會計算出自己是人還是機器，從而得出“我是誰”的答案？

22

三體問題?

The Three-body Problem

發(fā)現(xiàn)者? 希爾伯特

發(fā)現(xiàn)時間? 1900年

公式圖解

身披大紅長袍的牛頓踩在宇宙之中，三個球體在他身邊環(huán)繞運轉(zhuǎn)。

在虛空中，有各種已知的、未知的力以及其他因素的干擾，想要計算出這三個球體的運動方程的難度可想而知。

牛頓曾經(jīng)以數(shù)學(xué)方式嚴(yán)格地解決了二體問題，但面對“三體”，即便是成為真正的巫師和煉金師，也恐怕是心有余而力不足。

我們也許可以思考，摧毀三體的光粒文明，之所以能擊中三體的一顆恒星，是因為他們解析出了三體運動嗎？

23

哥德爾不完備定理?

Godel's Incompleteness Theorem

發(fā)現(xiàn)者? 哥德爾

發(fā)現(xiàn)時間? 1931年

公式圖解

一名理發(fā)師正準(zhǔn)備給人理發(fā)，可這名理發(fā)師卻聲稱，自己只為本城所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)。那他是否要為自己理發(fā)呢？

插畫之外，一名男子對著畫作中正在理發(fā)的理發(fā)師舉起了刀，但實際上我們無法分辨出持刀男子是在畫中還是畫外，即男子的存在性在這個系統(tǒng)中無法證明為真，也不能被證明為偽。

這便是哥德爾不完備定理：即使是世間不證自明的公理，也是不完備的。

哥德爾不完備定理開辟了一條新的道路：面對一個不完備系統(tǒng)時，請?zhí)鏊诘南到y(tǒng)；面對某個公理體系內(nèi)無法判定的一個命題時，請尋找新的數(shù)學(xué)工具或科學(xué)實驗加以判定。

24

橢圓曲線方程?

Elliptic curve equation

發(fā)現(xiàn)者??懷爾斯

發(fā)現(xiàn)時間? 1995年

公式圖解

一艘幽靈船航行于大海中。

船長中本聰屹立于船頭，但不久后也會隱去。

幽靈船將以比特幣、以太坊、Libra為首的虛擬貨幣體系為動力，自動在大海中航行。

船只身后的傳統(tǒng)金融世界已然著火，只有新的數(shù)字貨幣體系才能存活。幽靈船的四周，漂浮著無數(shù)個“窺視之眼”，企圖窺探加密數(shù)字貨幣的秘密。

橢圓曲線方程在比特幣中扮演著關(guān)鍵角色，它是比特幣的基石。沒有橢圓曲線方程，就沒有比特幣的安全性。

比特幣也正是因為依靠橢圓曲線方程，才在NSA的后門陰謀中得以逃過一劫。

結(jié)

楊振寧：“公式之美”凝練如詩

1988年，楊振寧接受Bill Moyers采訪時談到：

詩歌是思想的凝練，公式是凝練的詩篇！

物理學(xué)公式的簡潔精確與詩歌有相似之處，短短幾行詩，就能寫出非常復(fù)雜的思想。

以牛頓、麥克斯韋、愛因斯坦為代表的物理學(xué)家，將物質(zhì)結(jié)構(gòu)和宏觀宇宙用幾個公式表示，將繁瑣無比的復(fù)雜現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為幾個方程，簡單精確明了，具有極致的美感。

每一公式都是一副畫，每個公式也是一首詩。

英國大詩人W.Blake對于科學(xué)之美寫過一首詩：

一粒砂里有一個世界，

一朵花里有一個天堂。

把無窮無盡握于手掌，

永恒寧非是剎那時光。

（以上是翻譯的中文）

蘇東坡在《赤壁賦》中也寫到：

蓋將自其變者而觀之，天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，物與我皆無盡。

雖然東坡先生沒有學(xué)過物理，但那些偉大的靈魂總有一致性。

這首詩透露著物理學(xué)意義：運動是絕對的，靜止是相對的；物質(zhì)世界是絕對運動和相對靜止的統(tǒng)一。

人文與數(shù)學(xué)在畫面中相聚，“公式之美”攜手兩者前行。

這才是最高維度的審美！

《公式之美》量子學(xué)派編著，北京大學(xué)出版社